Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис. 1). Введем обозначения:

Drj = rj+1 - rj,
Dji = ji+1 - ji

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейкиDSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка

малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна: DSi = rj Dji Drj (3)

Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать. В качестве точки Mij $ Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны: xij = rj cos ji, yij = rj sin ji.

И следовательно,
f(xij, yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:

(4)

где d - максимальный диаметр ячеек DSijи сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величиныji и rjсуть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Ojr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции f(r cosj, r sinj)r,

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri. Следовательно (5)

    Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
    (6)
    Выражение
    dS = r dj dr

называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

Где r1(j), r1(j) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a, b]. (рис 2). Имеем

    (8)
    Где
    F(r, j) = rf(r cosj, r sinj)
    Пример 1.

Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0, 0) (рис 3). Так как

    то применяя формулу (6),
    получим
    Область S определена
    Неравенствами
    Поэтому на основании формулы (8) имеем
    Пример 2.
    В интеграле
    (9)
    перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).

    В полярных координатах уравнения
    этих прямых записываются
    следующим образом: j=0,
    j=p/4, r cosj=1 и,
    следовательно, область S
    определяется неравенствами
    Отсюда на основании формул
    (6) и(8), учитывая, что
    имеем