С целью выявления зависимости между экономическими показателями провести группировку 50 ремонтных предприятий железнодорожного транспорта (см. Таб. 1) с равными интервалами, выделив 5 групп.

    Исходные данные:
    Таб. 1
    №
    Группировоч-ный признак
    Результатив-ный признак
    №
    Группировоч-ный признак
    Результатив-ный признак
    число вагонов находящихся в ремонте, шт/сут
    чистая прибыль предприятия, млн. руб.
    число вагонов находящихся в ремонте, шт/сут
    чистая прибыль предприятия, млн. руб.
    51
    8
    130
    76
    10
    134
    52
    11
    148
    77
    6
    136
    53
    36
    155
    78
    7
    133
    54
    2
    124
    79
    1
    127
    55
    2
    125
    80
    7
    128
    56
    29
    135
    81
    1
    118
    57
    14
    126
    82
    5
    124
    58
    14
    136
    83
    15
    137
    59
    8
    124
    84
    6
    110
    60
    8
    128
    85
    17
    139
    61
    5
    110
    86
    8
    148
    62
    8
    150
    87
    1
    123
    63
    1
    110
    88
    10
    138
    64
    6
    122
    89
    21
    189
    65
    18
    140
    90
    11
    139
    66
    4
    110
    91
    2
    122
    67
    9
    139
    92
    2
    124
    68
    2
    121
    93
    1
    113
    69
    1
    111
    94
    8
    117
    70
    5
    132
    95
    6
    126
    71
    1
    129
    96
    3
    130
    72
    7
    139
    97
    3
    112
    73
    9
    148
    98
    2
    133
    74
    25
    144
    99
    25
    195
    75
    16
    146
    100
    5
    176
    Решение задачи:

Группировка производится по группировочному признаку. Определим величину (шаг) интервала группировки по формуле:

k = 5 , число групп в группировке (из условия)

Xmax, Xmin – максимальное и минимальное значение группировочного признака

l – величина (шаг) интервала группировки.

Определим нижнюю и верхнюю интервальные границы для каждой группы:

    Номер группы
    Граница нижняя
    Граница нижняя
    1
    1. 0
    8. 0
    2
    8. 0
    15. 0
    2
    15. 0
    22. 0
    4
    22. 0
    29. 0
    5
    29. 0
    36. 0

Составим рабочую таблицу, куда сведем первичный статистический материал:

Группы предпри-ятий по кол-ву вагонов нахощящ. на ремонте, шт/сут

    Номер предприятия
    Число вагонов, находящихся в ремонте, шт/сут
    Чистая прибыль предприятия, млн. руб.
    1
    2
    3
    4
    1. 0 - 8. 0
    51
    54
    55
    59
    60
    61
    62
    63
    64
    66
    68
    69
    70
    71
    72
    77
    78
    79
    80
    81
    82
    84
    86
    87
    91
    92
    93
    94
    95
    96
    97
    98
    100
    8
    2
    2
    8
    6
    5
    8
    1
    6
    4
    2
    1
    5
    1
    7
    6
    7
    1
    7
    1
    5
    6
    8
    1
    2
    2
    1
    8
    6
    3
    3
    2
    5
    130
    124
    125
    124
    128
    110
    150
    110
    122
    110
    121
    111
    132
    129
    139
    136
    133
    127
    128
    118
    124
    110
    148
    123
    122
    124
    113
    117
    126
    130
    112
    133
    176
    ИТОГО :
    33
    140
    4165
    8. 0 - 15. 0
    52
    57
    58
    67
    73
    76
    83
    88
    90
    11
    14
    14
    9
    9
    10
    15
    10
    11
    148
    126
    136
    139
    148
    134
    137
    138
    139
    ИТОГО :
    9
    103
    1245
    15. 0 - 22. 0
    65
    75
    85
    89
    18
    16
    17
    21
    140
    146
    139
    189
    ИТОГО :
    4
    72
    614
    22. 0 - 29. 0
    56
    74
    99
    29
    25
    25
    135
    144
    195
    ИТОГО :
    3
    79
    474
    29. 0 - 36. 0
    53
    36
    155
    ИТОГО :
    1
    36
    155

Разработаем аналитическую таблицу взаимосвязи между числом вагонов находящихся на ремонте и чистой прибылью :

    Табл. 2
    Группы предпр. по кол-ву вагонов поступающих в ремонт
    Число предпри-ятий
    Число вагонов находящихся в ремонте, шт/сут
    Чистая прибыль, млн. руб
    Всего по группе
    в среднем на одно предприятие
    Всего по группе
    в среднем на одно предприятие
    1. 0 - 8. 0
    33
    140
    4, 2
    4165
    126, 2
    8. 0 - 15. 0
    9
    103
    11, 4
    1245
    138, 3
    15. 0 - 22. 0
    4
    72
    18, 0
    614
    153, 5
    22. 0 - 29. 0
    3
    79
    26, 3
    474
    158, 0
    29. 0 - 36. 0
    1
    36
    36, 0
    155
    155, 0

Исследовав показатели работы 50-ти предприятий железнодорожного транспорта, можно сказать, что чистая прибыль предприятия находится в прямой зависимости от числа вагонов находящихся в ремонте.

Задание 2.

Рассчитать коэффициенты вариации по группировочному признаку на основании исходных данных и по аналитической группировке согласно своего варианта из задания 1. Объяснить (если есть) расхождения в значениях полученных коэффициентов.

Решение:

Расчет коэффициента вариации проводится по следующей формуле:

    где: G – среднее квадратическое отклонение;
    x - средняя величина
    1)
    n – объем (или численность) совокупности,

х - варианта или значение признака (для интервального ряда принимается среднее значение)

Рассчитаем показатели вариации для примера, рассмотренного в задании 1. Расчет проводится по группировочному признаку. Во-первых, рассчитаем все показатели по исх. данным (см. табл. 1):

2) Среднее кв. отклонение рассчитываем по формуле:
вернемся к форм. ( 1 )

3) Теперь рассчитаем коэффициент вариации по аналитической таблице (см. табл. 2)

    Рассчитаем серединные значения интервалов:
    4, 5 11, 5 18. 5 25, 5 32, 5
    1 8 15 22 29 36
    , где

f - частота, т. е. число, которое показывает, сколько встречается каждая варианта:

ваг.

Расчет среднего квадратического отклонения по аналитической группировке:

Вывод: в обоих случаях расчета, коэффициент вариации (V) значительно больше 30 %. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточно типична.

Задание 3.

Провести 20 % механическую выборку из генеральной совокупности, представленной в таблице (использовать все 100 предприятий), по показателю, который является результативным признаком в аналитической группировке задания 1 в соответствии с вариантом. С вероятностью 0, 997 рассчитать границы изменения средней величины в генеральной совокупности. Рассчитать среднюю данного признака по генеральной совокупности (по табл. ) и сравнить с результатом, полученным на основании расчета по выборочной совокупности. Начало отбора начинать с номера предприятия совпадающего с номером варианта (8).

    1) Табл.
    Номер
    предприятия
    Чистая прибыль
    предпр. , млн. руб.
    Номер
    предприятия
    Чистая прибыль
    предпр. , млн. руб.
    1
    2
    1
    2
    8
    13
    18
    23
    28
    33
    38
    43
    48
    203
    163
    131
    134
    130
    117
    133
    125
    141
    53
    58
    63
    68
    73
    78
    83
    88
    93
    98
    155
    136
    110
    121
    148
    133
    137
    138
    113
    133

2) Для расчета границ изменения средней характеристики генеральной совокупности по материалам выборки воспользуемся формулами:

    ( 1 )
    ( 2 )
    ( 3 )
    Х – средняя генеральной совокупности;
    Х – средняя выборочной совокупности;
    предельная ошибка выборки;
    t - коэффициент доверия = 0, 997 (по условию);
    М – средняя ошибки выборки
    G2 – дисперсия исследуемого показателя;
    n – объем выборочной совокупности;
    N – объем генеральной совокупности;

n/N – доля выборочной совокупности в объеме генеральной (или % отбора, выраженный в коэффициенте)

Решение:

В данном варианте задания средняя чистая прибыль на одно предприятие по выборочной совокупности равна

Х=136, 8 млн. руб. ;
дисперсия равна = 407, 46;

коэф-т доверия =3, т. к. вероятность определения границ средней равна =0, 997 (по усл);

n/N = 0, 2, т. к. процент отбора составляет 20 % (по условию). Рассчитаем среднюю ошибку по ф. (3):

Рассчитаем предельную ошибку и определим границы изменения средней по ф. (2)

Т. о. с вероятностью 0, 997 можно утверждать, что чистая прибыль на одно предприятие в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 124, 5 млн. руб. до 149, 1 млн. руб. , включая в себя среднюю по выборочной совокупности.

Теперь рассчитаем среднюю по генеральной совокупности (по 100 предприятиям) и сравним ее с полученной интервальной оценкой по выборке:

где а1 + а2 +... . +а100 – сумма числа вагонов, находящихся в ремонте (штук в сутки) на 1, 2, 3 ... . ,100 предприятиях.

Вывод: Сравнивая среднюю генеральную совокупность равную 140, 27 с интервальной оценкой по выборке 124, 5 < x < 149, 1 делаем выбор, что интервал с заданной вероятностью заключает в себе генеральную среднюю.

    Задание 4.
    По данным своего варианта (8) рассчитайте:
    Индивидуальные и общий индекс цен;

Индивидуальные и общий индексы физического объема товарооборота; Общий индекс товарооборота;

Экономию или перерасход денежных средств населения в результате изменения цен на товары в отчетном периоде по сравнению с базисным

    Исх. данные:
    Вид
    товара
    БАЗИСНЫЙ ПЕРИОД
    ("0")
    ОТЧЕТНЫЙ ПЕРИОД ("1")
    Цена за 1 кг, тыс. руб
    Продано,
    тонн
    Цена за 1 кг, тыс. руб
    Продано,
    тонн
    1
    2
    3
    4
    5
    А
    4, 50
    500
    4, 90
    530
    Б
    2, 00
    200
    2, 10
    195
    В
    1, 08
    20
    1, 00
    110
    Решение:

Индекс –это показатель сравнения двух состояний одного и того же явления (простого или сложного, состоящего из соизмеримых или несоизмеримых элементов); включает 2 вида:

    Отчетные, оцениваемые данные ("1")
    Базисные, используемые в качестве базы сравнения ("0")
    Найдем индивидуальные индексы по формулам:

(где: р, q – цена, объем соответственно; р1, р0 - цена отчетного, базисного периодов соответственно; q1, q2 - объем отчетного, базисного периодов соответственно) для величины (цены) по каждому виду товара

для величины q (объема) по каждому виду товаров:
Найдем общие индексы по формулам:

представляет собой среднее значение индивидуальных индексов (цены, объема), где j– номер товара.

Общий индекс товарооборота равен:

Найдем абсолютное изменение показателя (экономии или перерасхода):

получаем:

Вывод: наблюдается перерасход денежных средств населения в результате изменения цен на товары в отчетном периоде по сравнению с базисным, в среднем на 5, 54%.

Задание 5.

Определить, как изменяться цены на товары, если их стоимость в среднем увеличится на 3, 2 %, а физический объем реализации в среднем не изменится.

Решение:
Для базисного периода для цен характерен следующий индекс:

Для отчетного периода известно увеличение стоимости на 3, 2 %, т. е. :

Вывод: из полученного видно, что цены на товары в следствие увеличения их стоимости на 3, 2% соответственно возрастут на 3, 2%.

Задание 6.

Рассчитать коэффициент корреляции по исходным данным своего варианта, используя задание 1.

Решение:

Коэффициент корреляции оценивает тесноту связи между несколькими признаками. В данном случае требуется оценить связь между двумя признаками. Поэтому необходимо рассчитать парный коэффициент корреляции. Воспользуемся следующими формулами:

    где:
    - индивидуальные значения факторного и результативного
    признаков;
    - средние значения признаков;

- средняя из произведений индивидуальных значений признаков;

- средние квадратические отклонения признаков

Коэффициент рассчитаем по исходным данным варианта (50 предприятий), которые представлены в табл. 1

Расчет средней из произведений проведем в таблице M, заполняя данные о факторном и результативном признаке из таблицы № 1:

    №
    Группир. признак
    Результат признак
    X x Y
    №
    Группир.
    признак
    Результат
    признак
    XxY
    число
    вагонов,
    шт/сут
    чистая
    прибыль, млн. руб.
    число
    вагонов,
    шт/сут
    чистая
    прибыль,
    млн. руб.
    51
    8
    130
    1040
    76
    10
    134
    1340
    52
    11
    148
    1628
    77
    6
    136
    816
    53
    36
    155
    5580
    78
    7
    133
    931
    54
    2
    124
    248
    79
    1
    127
    127
    55
    2
    125
    250
    80
    7
    128
    896
    56
    29
    135
    3915
    81
    1
    118
    118
    57
    14
    126
    1764
    82
    5
    124
    620
    58
    14
    136
    1904
    83
    15
    137
    2055
    59
    8
    124
    992
    84
    6
    110
    660
    60
    8
    128
    1024
    85
    17
    139
    2363
    61
    5
    110
    550
    86
    8
    148
    1184
    62
    8
    150
    1200
    87
    1
    123
    123
    63
    1
    110
    110
    88
    10
    138
    1380
    64
    6
    122
    732
    89
    21
    189
    3969
    65
    18
    140
    2520
    90
    11
    139
    1529
    66
    4
    110
    440
    91
    2
    122
    244
    67
    9
    139
    1251
    92
    2
    124
    248
    68
    2
    121
    242
    93
    1
    113
    113
    69
    1
    111
    111
    94
    8
    117
    936
    70
    5
    132
    660
    95
    6
    126
    756
    71
    1
    129
    129
    96
    3
    130
    390
    72
    7
    139
    973
    97
    3
    112
    336
    73
    9
    148
    1332
    98
    2
    133
    266
    74
    25
    144
    3600
    99
    25
    195
    4875
    75
    16
    146
    2336
    100
    5
    176
    880
    61686

Расчет коэффициента корреляции проведем по первой из предложенных в начале решения двух формул:

Вывод: т. к. полученный коэффициент корреляции больше значения 0, 8, то можно сделать вывод о том, что теснота связи между исследуемыми признаками достаточно тесная.

Задание 7.

По данным своего варианта (см. табл. N) рассчитать индексы сезонности, построить график сезонности и сделать выводы.

    Исх. данные:
    Табл. N
    Месяц
    Годы
    Итого за
    3 года
    В сред-нем за месяц
    Индексы сезон-ности, %
    1991
    1992
    1993
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    Январь
    4600
    2831
    3232
    10663
    3554
    90, 3
    Февраль
    4366
    3265
    3061
    10692
    3564
    90, 6
    Март
    6003
    3501
    3532
    13036
    4345
    110, 5
    Апрель
    5102
    2886
    3350
    11338
    3779
    96, 1
    Май
    4595
    3054
    3652
    11301
    3767
    95, 8
    Июнь
    6058
    3287
    3332
    12677
    4226
    107, 4
    Июль
    5588
    3744
    3383
    12715
    4238
    107, 8
    Август
    4869
    4431
    3343
    12643
    4214
    107, 1
    Сентябрь
    4065
    3886
    3116
    11067
    3689
    93, 8
    Октябрь
    4312
    3725
    3114
    11151
    3717
    94, 5
    Ноябрь
    5161
    3582
    2807
    11550
    3850
    97, 0
    Декабрь
    6153
    3598
    3000
    12751
    4250
    108, 0
    В среднем
    5073
    3482
    3244
    3953
    100, 0

Сезонными колебаниями называют устойчивые внутригодовые колебания в ряду динамики. Они характеризуются индексами сезонности, совокупность которых на графике образует сезонную волну.

Воспользуемся следующей формулой расчета индексов сезонности:

Vt - фактические (средние) данные по месяцам (среднемесячный результат, вычисленный за 3 года по одноименным месяцам); Vo - общая или постоянная средняя (среднемесячный уровень по 36-ти месяцам)

Теперь на основании полученных индексов сезонности (ст. 7 табл. N) построим график сезонности:

Вывод: Сезонность имела три волны подъема количества отправленных вагонов с одной станции: главный – в марте м-це

    второй (слабее) – в июне-июле м-цах
    третий (слабее) - в декабре м-це.
    Уменьшение наблюдается:
    в начале года (январь-февраль м-цы)
    во второй половине весны (апрель-май м-цы)
    осенью (сентябрь-ноябрь м-цы)
    Литература:

Дружинин Н. К. Математическая статистика в экономике. – М. : Статистика, 1971. Елисеева И. И. моя профессия – статистик. – М. : Финансы и статистика, 1992. Елисеева И. И. , Юзбашев М. М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. Чл. -корр. РАН И. И. Елисеевой. – М. : Финансы и статистика, 1996. Кривенкова Л. Н. , Юзбашев М. М. Область существования показателей вариации и ее применение // Вестник статистики. – 1991. - №6. – С. 66-70