Основи метрології та вимірювальної техніки

Основи метрології та вимірювальної техніки

АНОТАЦІЯ

У курсовій роботі в теоретичній частині розглянуто класифікацію вимірювань та методи обробки результатів прямих, опосередкованих, сукупних і сумісних вимірювань, в практичній частині проведено обробку результатів прямих, опосередкованих та сукупних вимірювань.

ВСТУП

Термін «метрологія» походить від грецьких слів : «метрос» - міра, «логос» - вчення, слово. У сучасному розумінні це наука про виміри, методи і засоби забезпечення їхньої єдності і способах досягнення необхідної точності. До основних напрямків метрології відносяться : загальна теорія вимірів; одиниці фізичних величин і їхньої системи; методи і засоби вимірів; методи визначення точності вимірів; основи забезпечення єдності вимірів і однаковості засобів виміру; еталони і зразкові засоби вимірів; методи передачі розмірів одиниць від еталонів і зразкових засобів вимірів робочим засобам вимірів. Частина з них мають науковий характер. Інша частина відноситься до законодавчої метрології. Законодавчий характер метрології обумовлює стандартизацію її термінів і визначень.

У сучасному суспільстві поряд з індустрією матеріальних цінностей більш питому вагу займає індустрія інформації, тобто одержання, обробка, збереження і застосування відомостей усілякого характеру. Знання потрібні людині для прийняття правильних рішень, спрямованих на досягнення поставлених цілей. Значну частину знань про властивості навколишнього світу ми одержуємо за допомогою засобів вимірів. Виміри є сполучною ланкою між властивостями реальних об'єктів, явищ і представленнями про них, тобто нашими знаннями. Висока технологічна цивілізація немислима без точних вимірів, що активно вторгаються в усі сфери людської діяльності. Засоби вимірювань постійно удосконалюються. Спектр вимірювальних задач продовжує збагачуватися. Необхідної ефективності застосування вимірювальної техніки можна досягти тільки при грамотній її експлуатації, що має на увазі забезпечення порівнянності вимірів, уміння оцінити точність засобу вимірів і методики виконання вимірів.

РОЗДІЛ 1 МЕТОДИ ВИМІРЮВАННЯ І ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРЮВАННЯ

1.1 Класифікація вимірювань

Вимірювання -- пізнавальний процес знаходження відношення між двома величинами однакової природи -- вимірюваною й умовною одиницею вимірювання, а також дія, знаходження значення фізичної величини дослідним шляхом, порівнюючи її з одиницею виміру за допомогою спеціальних технічних засобів.[2] У більшості випадків вимірювання - це багаторазове спостереження величини, що вимірюється. При цьому одержують групу значень, які необхідно сумісно обробити для одержання результату. Виправлений результат вимірювання одержують шляхом виключення систематичних похибок. Остаточний результат отримують після виключення всіх похибок вимірювання. Якість результатів вимірювання характеризується надійністю, правильністю і точністю. Існують три складові частини загальної похибки вимірювання і відповідні їм показники якості результатів вимірювання: грубі, систематичні і випадкові похибки. Відсутність грубих похибок (промахів) характеризує надійність результатів і досягається організацією вимірювання. Виключення систематичних похибок характеризує правильність результатів і досягається за допомогою введення спеціальних коефіцієнтів або поправок. Випадкові похибки є неминучими, а їх величини і закон розподілу характеризують точність результатів вимірювання. Вимірювання є дуже різноманітними і кількість їх різновидів зростає. Свідченням цього є динамічні вимірювання та сумісні вимірювання величин.

Для класифікації вимірювань необхідно встановити їх найбільш суттєві ознаки.

До найбільш суттєвих ознак вимірювань відносять :

- відсутність чи наявність в процедурі вимірювання перетворення роду вимірюваної величини та обчислення й значення за відомими залежностями;

- вид рівняння вимірювання,

- призначення вимірювання для незмінних чи змінних в часі вимірюваних величин;

- особливості визначення похибок вимірювань;

- наявність чи відсутність розмірності у вимірюваної величини,

- співвідношення між кількістю вимірюваних величин та кількістю вимірювань

За відсутністю чи наявністю в процедурі вимірювань перетворення роду вимірюваної фізична величини та обчислення її значення за відомими залежностями вимірювання класифікують на прямі та непрямі.

Пряме вимірювання - вимірювання однієї величини, значення якої знаходять безпосередньо без перетворення її роду та використання відомих залежностей.

Для реалізації прямих вимірювань фізичної величини X необхідно мати компаратор а також багатозначну міру з відповідним діапазоном зміни значень чи однозначну міру та масштабний вимірювальний перетворювач. При всіх інших однакових умовах прямим вимірюванням властиві мінімальні похибки.

Непряме вимірювання - вимірювання, у якому значення однієї чи декількох вимірюваних величин знаходять після перетворення роду величини чи обчислення за відомими залежностями їх від декількох величин аргументів, що вимірюються прямо.

Непрямі вимірювання поділяються на опосередковані, сумісні та сукупні. Опосередковане вимірювання. Непряме вимірювання однієї величини з перетворенням її роду чи обчисленнями за результатами вимірювань інших величин, з якими вимірювана величина, пов'язана явною функційною залежністю. Характерним для опосередкованих вимірювань з функціональним вимірювальним перетворення, яке здійснюється або шляхом фізичного вимірювального перетворення, або шляхом числового вимірювального перетворення. Наприклад, при опосередкованих вимірюваннях потужності постійного струму її визначають чи на основі прямих вимірювань струму та напруги за формулою чи на основі фізичного вимірювального перетворення добутку в іншу фізичну величину. При автоматичних опосередкованих вимірюваннях прямі вимірювання вхідних величин аргументів та числові вимірювальні перетворення результатів їхніх вимірювань, із метою знаходження значення опосередковано виміряної величини здійснюються автоматично всередині засобу вимірювання.[3]

Сукупне вимірювання - непряме вимірювання, в якому значення декількох одночасно вимірюваних однорідних величин отримують розв'язанням рівнянь, то і пов'язують різні сполучення цих величин, які вимірюються прямо чи опосередковано.

Метою сукупних вимірювань є знаходження шляхом числових вимірювальних перетворень значень декількох ФВ за неможливістю їхнього окремого прямого вимірювання. При цьому завдяки усередненню інколи досягається те й зменшення випадкової похибки вимірювання.

Прикладом сукупних вимірювань може бути вимірювання опору кожного з двох резисторів R1, R2, з'єднаних послідовно та паралельно. В результаті прямого вимірювання омметром послідовно з'єднаних опорів маємо

Rпос=R1+R2, (1.1)

а сумарна провідність паралельно з'єднаних резисторів становить

. (1.2)

Із системи з двох рівнянь із двома невідомими обчислюємо шукані значення сукупно виміряних опорів R1, R2.

Сумісне вимірювання - непряме вимірювання, в якому значення декількох одночасно вимірюваних різнорідних величин отримують розв'язанням рівнянь, які пов'язують їх з іншими величинами, що вимірюються прямо чи опосередковано.

Сумісні вимірювання є різновидом вимірювання залежностей. За призначенням вимірювань для незмінних чи змінних у часі вимірюваних величин їх класифікують на статичні та динамічні вимірювання.

Статичне вимірювання - вимірювання величини, яку можна вважати незмінною за час вимірювання (коли похибкою, що виникає від її зміни, можна знехтувати ).

Динамічне вимірювання - вимірювання величини, що змінюється за час вимірювання.

Вимірювання за ознакою особливостей визначення їх похибок класифікують на лабораторні та технічні.

Лабораторні вимірювання - вимірювання, за яких похибки кожного результату вимірювання оцінюють за даними, що одержані при цьому вимірюванні.

Лабораторні вимірювання виконуються висококваліфікованими спеціалістами найчастіше універсальними взірцевими засобами вимірювання в наукових дослідах в метрологічних дослідженнях еталонів одиниць та при розробці і атестації методик виконання технічних вимірювань.

Технічні вимірювання - вимірювання, які виконуються в заданих умовах згідно з розробленою та рекомендованою раніше методикою, при цьому похибки вимірювання, які при її виконанні окремо не визначають, повинні бути нижче встановлених нею.

Технічні вимірювання - це вимірювання, які виконуються за атестованими методиками виконання вимірювань за допомогою серійних засобів вимірювань, що повинно забезпечувати заданий рівень похибок. Технічні вимірювання виконуються фахівцями, в обов'язки яких не входить аналіз похибок результатів вимірювання. Для забезпечення необхідного рівня точності технічних вимірювань при їхньому виконанні користуються атестованими методиками виконання вимірювань, які розробляють висококваліфіковані спеціалісти - метрологи.

Вимірювання ФВ за наявністю або відсутністю розмірності у вимірюваних величин поділяють на вимірювання розмірних величин (абсолютні) та вимірювання безрозмірних величин (відносні).

Відносне вимірювання - вимірювання відношення величини до іншої однорідно величини.

Вимірювання ФВ за співвідношенням між кількістю виміряних величин та кількістю вимірювань поділяють на не надлишкові одноразові та надлишкові які виконуються або одноканальне багаторазово, або багатоканальне одноразово, зокрема, із метою зниження рівня випадкових похибок шляхом усереднення.

1.2 Оцінювання випадкових похибок прямого вимірювання

Пряме вимірювання - це вимірювання однієї фізичної величини, значення якої знаходять безпосередньо: без перетворення її роду та використання функціональних залежностей.

Прямі багатократні вимірювання поділяються на рівно та нерівно точні. Рівно точними називаються вимірювання, що проводяться засобами вимірювання однакової точності за однією і тією ж методикою при незмінних зовнішніх умовах. При рівно точних вимірюваннях середні квадратичні відхилення результатів всіх рядів вимірювань рівні між собою.

Перед проведенням обробки результатів вимірювань необхідно переконатись в тому, що дані з вибірки, що оброблюються, статистично підконтрольні, групуються навколо одного й того ж центра і мають однакову дисперсію. Стійкість змін часто оцінюють інтуїтивно на основі тривалих спостережень. Однак існують математичні методи розв'язку поставленої задачі - методи перевірки однорідності. Щодо вимірювань, то розглядається однорідність груп спостережень, необхідні ознаки якої полягають в оцінці не зміщеності середніх арифметичних і дисперсій відносно один одного .

Задача обробки результатів багатократних вимірювань полягає в знаходженні оцінки вимірюваної величини і довірчого інтервалу, в якому знаходиться її дійсне значення.

Випадкові похибки рівно точних прямих вимірювань проявляються при багаторазових спостереженнях вимірюваної величини в однакових умовах одним оператором і за допомогою одного й того самого засобу вимірювання.

При статистичній обробці результатів багаторазових спостережень необхідно виконати наступну послідовність дій:

-- провести багаторазові вимірювання і отримати масив Х1, Х2,…, Хn вимірювальної інформації;

-- поправити результати вимірювання, вилучивши відомі систематичні похибки шляхом внесення поправок у результати спостережень;

-- знайти математичне сподівання поправлених результатів спостереження і прийняти його за дійсне значення.

Для нормального закону розподілу, а якщо поступитися ефективністю оцінки, то й для всіх симетричних законів розподілу, за оцінку математичного очікування ряду рівноточних спостережень приймають середнє арифметичне, що визначається за формулою:

;(1.3)

-- визначити випадкове відхилення за наступною формулою:

; (1.4)

Дана різниця представляє собою випадкове відхилення (випадкову абсолютну похибку) при і-му спостереженні. Вона може бути позитивною та негативною.

Середнє арифметичне незалежно від закону розподілу має наступні властивості, що використовуються для перевірки правильності обчислення :

;(1.5)

-- обчислити середнє квадратичне відхилення результатів вимірювання за формулою Бесселя:

; (1.6)

Для серії n вимірювань однієї й тієї ж величини параметр S характеризує розсіювання результатів багаторазових n вимірювань однієї й тієї ж величини. Оскільки ми обчислюємо середнє арифметичне, необхідне для одержання оцінки S, то природно взяти його за результат вимірювання. Так як в даному випадку середнє арифметичне залежить від числа вимірювань і є випадковою величиною, та воно має деякі дисперсії відносно істинного значення;

-- визначити квадратичне відхилення середнього арифметичного значення за формулою:

(1.7)

Отже, якщо в якості результату багаторазових вимірювань взяти середнє арифметичне , то випадкова похибка (S) зменшується в раз порівняно з випадком, коли за результат вимірювання буде прийматися будь-яке одне з n спостережень. Тому багаторазові вимірювання з наступним усередненням результатів і прийняттям цього середнього за результат вимірювання є досить ефективним методом зменшенням випадкової похибки;

-- визначити довірчі границі похибки вимірювання, що представляють собою верхню й нижню границі інтервалу, який накриває з заданою ймовірністю похибку вимірювання. Якщо число вимірювань n30, то довірчий інтервал випадкової похибки при заданих ймовірності Р і середньому квадратичному відхиленню визначається за формулою Стьюдента:

, (1.8)

де kt - коефіцієнт Стьюдента, який залежить від заданої ймовірності Р і числа вимірювань n.

Щодо значення довірчої ймовірності, то в більшості випадків приймають Р=0.95. Якщо ж вимірювання повторити неможливо, то приймають Р=0.99, а в особливо відповідальних випадках, коли вимірювання, що виконуються, пов'язані з створенням нових еталонів або їхні результати можуть суттєво вплинути на здоров'я людини, приймають Р=0.997;

1.3 Оцінювання випадкових похибок опосередкованого вимірювання

Оцінку випадкових похибок опосередкованих вимірювань необхідно здійснювати за такою методикою:

1. Визначити для результатів прямих вимірювань і ;

2. Визначити значення невідомої величини

3. Визначити «вагу» кожної часткової похибки опосередкованих вимірювань

. (1.9)

4. Обчислити часткові випадкові похибки опосередкованих вимірювань

. (1.10)

5. Знайти оцінку СКВ результату опосередкованих вимірювань

,(1.11)

6. Знайти коефіцієнт kt Стьюдента за заданою довірчою ймовірністю Р і кількістю вимірювань n.

7. Знайти граничні значення випадкової складової похибки, яку приймають за похибку опосередкованого вимірювання

(1.12)

8. Записати результат опосередкованого вимірювання:

.(1.13)

Для визначення похибки результату опосередкованого вимірювання необхідно застосувати такі правила:

1. Якщо результат вимірювання представляється сумою або різницею двох і більше виміряних величин:

,(1.14)

і похибки х,..., w незалежні і випадкові, то абсолютна похибка результату може бути визначена за формулою

.(1.15)

Коли похибки аргументів корельовані, значення може перевищувати отримане за попередньою формулою, але завжди буде задовольняти умову

.(1.16)

2. Якщо кінцевий результат вимірювання представляється добутком або часткою двох і більше виміряних значень:

,(1.17)

і похибки х,..., w незалежні і випадкові, то відносна похибка результату опосередкованого вимірювання визначається

. (1.19)

3. Якщо результат опосередкованого вимірювання є функцією однієї величини:

q = f(х), (1.20)

то похибка результату визначається

(1.21)

4. В загальному випадку похибка функції декількох величин

,(1.22)

похибки яких незалежні і випадкові, знаходиться

,( 1.23)

але сумарна похибка ніколи не перевищить значення.

.(1.24)

1.4 Оцінювання випадкових похибок сукупних та сумісних вимірювань

При сукупних та сумісних вимірюваннях невідомі величини хi , що підлягають безпосередньому вимірюванню, визначають за результатами вимірювання інших величин, які функціонально пов'язані з ними

?(х1, х2, ... ,хn) =yj, (1.25)

де і=1, 2,....., n - порядковий номер невідомих величин х; j=1,2,...m - порядковий номер прямих вимірювань величин у.

Якщо результати прямих вимірювань Y містять випадкові похибки, то вони мають місце і в результатах сукупних (сумісних) вимірювань величин хi.

Розглянемо три випадки.

1. Очевидно, що для m < n систему розв'язати неможливо.

2. Для m=n розв'язання можливе, але похибки результатів вимірювання величин хi будуть, як і для прямих одноразових вимірювань, значними і числові значення цих похибок залишаються невідомими.

3. Для m>n систему знову неможливо розв'язати алгебраїчно тому, що ці рівняння несумісні, оскільки праві частини рівнянь замість точних значень Yj містять результати їхніх вимірювань уj= Yj + ?Yj; із випадковими похибками ?Yj,.

Проте у останньому випадку для нормального закону розподілу похибок вимірювання величини уj можна знайти таку сукупність значень xі, яка з найбільшою ймовірністю задовольняла б початкові умови ?(х1, х2, ... ,хn) =yj. Це можна здійснити за допомогою методу найменших квадратів (принципу Лежандра).

Такий спосіб обробки експериментальних даних для сукупних (сумісних) вимірювань доцільно застосовувати для лінійних функцій. В інших випадках обробка результатів значно ускладнюється.

Тому розглянемо випадок, коли функції ?j лінійні

(1.26)

Цю ж систему представимо більш компактно

, j=1,2,…m.(1.27)

Тут індекси при коефіцієнтах а показані у послідовності «рядок-стовпець».Ці рівняння називаються умовними. Через наявність похибок праві частини рівнянь дорівнюють не нулю, а деяким залишковим похибкам

, j=1,2,…m. (1.28)

Згідно з принципом Лежандра найбільш імовірними значеннями невідомих величин хі для цього випадку будуть такі, для яких сума квадратів залишкових похибок мінімальна

(1.29)

Необхідною умовою такого мінімуму повинна бути рівність нулю похідних

(1.30)

Підставивши в формулу значення , отримують систему нормальних рівнянь

,(1.31)

яку в розгорнутому вигляді представляють так

(1.32)

Тут індекси при коефіцієнтах b показані у послідовності «рядок-стовпець» (h-і).

Оскільки кількість нормальних рівнянь завжди дорівнює кількості невідомих, то така система має розв'язок.

Загальний спосіб знаходження системи нормальних рівнянь полягає y знаходженні часткових похибок від кожної по кожній з невідомих хi , перемноженням цих похідних на відповідні значення та додаванні їх для кожної невідомої хі

(1.33)

Сукупність даних виразів представляє собою систему з n нормальних рівнянь.

Припустимо, що в результаті сукупних (сумісних) вимірювань отримай таку систему

(1.34)

Система нормальних рівнянь матиме вигляд

(1.35)

Коефіцієнти визначають із таких виразів

; ; .(1.36)

Тоді значення визначають

; .(1.37)

Якщо кількість невідомих n< 4, то систему нормальних рівнянь доцільно розв'язувати за допомогою визначників. Розглянемо розв'язування систем нормальних рівнянь для n = 2 .

У цьому випадку складають та обчислюють головний визначник цієї системи рівнянь

.(1.38)

Далі складають та обчислюють часткові визначники та D2, замінивши коефіцієнти при відповідних невідомих на вільні члени в системі рівнянь

; .(1.39)

потім знаходять найбільш імовірні значення невідомих

; .(1.40)

Середні квадратичні значення результатів сукупних (сумісних) вимірювань. Після підстановки найбільш імовірних значень до рівняння знаходять значення залишкових похибок визначають та суму квадратів залишкових похибок .

Середнє квадратичне відхилення результатів сукупних (сумісних) вимірювань знаходять за формулою

,(1.41)

де m - кількість умовних рівнянь;

n - кількість невідомих;

- ад'юнкти (алгебричні доповнення) елементів головної діагоналі визначника D (для h=). які отримують викресленням h-го рядка та і-го стовпця, відповідне даному елементу , з наступним до множенням на

(-1)h+1. Для n=2 ад'юнкти: А11=b22; А22=b11.

Задавшись значенням довірчої ймовірності, знаходять відповідне значення коефіцієнта довіри tр. У цьому випадку число ступенів свободи дорівнюють:

.(1.42)

Довірчі границі випадкової похибки сукупних (сумісних) вимірювань становлять

. (1.43)

РОЗДІЛ 2 ОПРАЦЮВАННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРЮВАННЯ

2.1 Розв'язок завдання 1

Похибка вимірювання складається з основної інструментальної, яка визначається за класом точності вольтметра та додаткових, зумовлених відхиленням температури навколишнього середовища від нормальної, наявність зовнішнього магнітного поля та відхилення напруги живлення поза межі допустимих значень.

1. Оскільки клас точності приладу нормовано сталими с та d, а саме 0.3/0.05, то основна відносна гранична похибка вимірювання напруги

(2.1)

2. Нормальний діапазон температури навколишнього середовища від 18 до 22 , то ж значення температури навколишнього середовища відхиляється від нижньої зазначеної межі на . Тому зумовлена цим відносна гранична похибка.

(2.2)

3. Напруженість зовнішнього магнітного поля Н=400 А/м, тому додаткова відносна гранична похибка зумовлена цим фактором

(2.3)

4. Діапазон гранично допустимих значень напруги живлення

Оскільки напруга живлення приладу становить 203 В, що є менше менше від нижньої межі, але входить в діапазон 187-240В, то зумовлена цим відносна гранична похибка

(2.4)

5. Тобто сумарна відносна гранична похибка вимірювання напруги

(2.5)

6. Абсолютна гранична похибка вимірювання напруги

(2.6)

Запишемо результат вимірювання напруги враховуючи, що похибку досить заокруглити до однієї або двох значущих цифр і кількість знаків після коми в написанні результату повинна відповідати кількості цих знаків у похибці. Тобто

(2.7)

2.2 Розв'язок завдання 2

Абсолютну похибку опосередкованого вимірювання можна визначити через повний диференціал виразу цього вимірювання. А саме

.(2.8)

Тут

;

;

.

.

;

=;

Розрахунки реалізовані за допомогою математичного пакету MathCAD і наведені у додатку Б.

2.3 Розв'язок завдання 3

Найкращою оцінкою багатократних прямих рівно точних вимірювань, що дає змогу зменшити вплив випадкових складових похибки вимірювання кожного окремого спостереження, є середнє значення

.(2.9)

Незміщена оцінка дисперсії сукупності спостережених значень

(2.10)

Проаналізуємо чи немає серед спостережень грубих (аномальних) помилок. Сформуємо із спостережень варіаційний ряд (від найменшого значення до найбільшого):

16,62; 16,62; 16,63;16,66;16,68;16,69;16,72;16,73;16,73;16,77;16,79;16,79;

Перевіримо крайні члени ряду на аномальність. Знайдемо співвідношення

(2.11)

(2.12)

За табл.1 (додаток), що задає допустимі значення про нормованих відхилень від середнього і заданою довірчою ймовірністю, знайдемо , а саме: для , а отже, надійності , та n=12 маємо . Оскільки та менші від , то кратні значення (варіанти) варіаційного ряду не треба розглядати, як аномальні. Незміщена оцінка середньоквадратичного відхилення середнього значення

(2.13)

Оскільки кількість спостережень < 30, то при оцінюванні гарантійного (довірчого) інтервалу для похибки середнього доцільно скористатися не розподілом Гауса, а Стьюдента. За табл.. 2 (додаток), що задає допустимі значення гарантійного коефіцієнта для заданої гарантійної (довірчої) ймовірності, знайдемо відповідний коефіцієнт. А саме для n=12, =0,99, =3,055. Отже, результат вимірювання

(2.14)

2.4 Розв'язок завдання 4.

Похибку опосередкованого вимірювання шукаємо за похибками прямих вимірювань. Зокрема, відносна похибка , А абсолютна похибка непрямого вимірювання (див. задачу3)

(2.15)

Результати рівно точних взаємно незалежних спостережень величин Х та У містять випадкові похибки. Тому найкращою оцінкою кожної з безпосередньо вимірюваних величин (Х та У) та опосередкованої величини U будуть їх середні значення, тобто

(2.16)

….(2.17)

…(2.18)

За визначенням абсолютна похибка тут - істинне, дійсне та середнє значення величини U, яку можна оцінити значеннями за прямими спостереженнями та .

Тому дисперсія абсолютної похибки усередненого результату посереднього вимірювання

(2.19)

Так само пов'язані і їх незміщені оцінки

(2.20)

Своєю чергою дисперсія похибок кожної з усереднених величин та дорівнює сумі незміщеної оцінки дисперсії середнього випадкових спостережень та дисперсії інструментальної похибки відповідного вимірювального приладу, а саме:

(2.21)

Незміщені оцінки дисперсії спостережень

(2.22)

(2.23)

А дисперсій відповідних середніх значень та

Звідси

(2.24)

(2.25)

0,73

Для =0,95 й n=9 гарантійний коефіцієнт . Звідси результат опосередкованого вимірювання

(2.26)

2.5 Розв'язок завдання 5.

За умовою вважається, що залежність між величинами Y та Х є лінійною, тобто

Y=kX+b.

Необхідно знайти два невідомі параметри k й b, опрацьовуючи набори результатів спостережень {х,} та {у,} за методом найменших квадратів. Сформуємо відповідні рівняння, а саме: знайдемо часткові похідні функції Y за невідомими параметрами

….(2.27)

Одержимо систему двох рівнянь з двома невідомими, а саме:

(2.28)

Звідси:

Знайдемо k=0,4; b=8,26. Отже Y=0,4X+8,26.

Рисунок 2.1 - Графік лінійної залежності

2.6 Розв'язок завдання 6.

Складемо систему нормальних рівнянь:

(2.29)

де коефіцієнти

= 6;

= 7;

= 5;

= 5;

= 3;

= 3;

= 5;

= 2;

= 3;

= 4;

;(2.30)

= 13.16+7.21+12.16+10.33+9.2 = 52.06

;(2.31)

= 13.16+8.18+7.21+12.16+10.25+4.21 = 55.17

;(2.32)

= 13.16+8.18+6.2+12.16+10.33+10.25+9.2 = 69.48

;(2.33)

= 13.16+6.2+10.33+10.25+4.21 = 44.15

Врахувавши значення даних коефіцієнтів система нормальних рівнянь матиме вигляд:

Головний визначник цієї системи D = 156.

D1=-244.98 D2=1117 D3=1161 D4=151.5

Найбільш ймовірні значення невідомих дорівнюють:

Підставляємо значення найбільш ймовірних значень до умовних рівнянь:

x1 + x2 + x3 + x4 = -157+7.16+7.44+0.97 = 14

x2 + x3 = 7.16+7.44 = 14.6

x1 + x2 = 7.16-1.57 = 5.59

x3 + x4 = 7.44+0.97 = 8.41

x1 + x2 + x3 = 7.16+7.44-1.57 = 13.03

x1 + x3 + x4 = -1.57+7.44+0.97 = 6.84

x1 + x4 + x3 = 7.14+7.44+0.97 = 15.57

x2 + x4 = 7.16+0.97 = 8.13

x3 + x1 = 0.97-1.57 = -0.6