Курсовые работы по статике посвящены применению основных теорем и методов статики к исследованию равновесия механических систем. Студенты, выполняя то или иное задание, должны получить навыки и умения: составления уравнений равновесия для рассматриваемых тел, нахождения реакций внешних и внутренних связей, анализа результатов расчета и исследования конструкций.

В данном разделе представлены три курсовых работы разной степени сложности:

В 1-ой работе "Исследование равновесия плоских шарнирных ферм" рассматривается равновесие плоской шарнирной фермы. Составление уравнений равновесия и проверочные расчеты проводятся различными методами. Исследуется влияние вида и расположения опор на величины реакций внешних и внутренних связей.

Во 2-ой работе "Равновесие тел под действием произвольной плоской системы сил" рассматривается равновесие плоских составных конструкций. Составление уравнений равновесия и проверочные расчеты проводятся различными методами. Исследуется влияние геометрических параметров на величины реакций связей, определяются области их допустимых значений.

В 3-ей работе "Равновесие плоских шарнирных механизмов" изучается равновесие плоских многозвенных шарнирных механизмов. Совместно решается нелинейная система, в которую входят: система нелинейных уравнений геометрических связей и система уравнений равновесия. Исследуются факторы, обеспечивающие равновесие механизма в зависимости от положения ведущего звена.

1. Исследование равновесия плоских шарнирных ферм

Фермой называется геометрически неизменяемая конструкция, образованная прямолинейными стержнями, соединенными друг с другом идеальными шарнирами, которые называются узлами фермы. Если стержни, образующие ферму, лежат в одной плоскости, то такая ферма называется плоской. Плоская ферма является статически определимой, если число узлов и число стержней удовлетворяют равенству

При , ферма является статически неопределимой, а при ферма имеет дополнительные степени свободы, т.е. является механизмом.

При расчете ферм методами теоретической механики все действующие на ферму силы приводятся к ее узлам, а стержни считаются невесомыми и абсолютно жесткими. Тогда усилия в стержнях фермы будут направлены вдоль их осей, и стержни могут быть только сжаты или растянуты. Расчет статически определимых ферм сводится к определению усилий в стержнях фермы. В этом случае все активные силы и реакции опор являются внешними силами для всей фермы, рассматриваемой как твердое тело; усилия в стержнях -- внутренними силами (внутренними реакциями).

При проектировании ферм обычно задаются критические режимы внешних воздействий на них. Тогда внешние силы можно считать не изменяемыми. Конструктивные параметры ферм (их геометрические размеры) определяются условиями их функционирования и, следовательно, варьируются в очень узком диапазоне. Актуальной становится такая задача исследования фермы, при которой могут изменяться вид опор и место их расположения.

Цель курсовой работы

Целью курсовой работы является выработка навыков расчета и исследования равновесия плоских шарнирных ферм.

Содержание курсовой работы

Объектом исследования является плоская шарнирная ферма, представляющая собой совокупность прямолинейных стержней, соединенных друг с другом идеальными шарнирами. Схемы ферм и таблицы исходных данных приведены в альбоме заданий.

Задаваемыми параметрами являются:

геометрические характеристики фермы;

плоская система активных сил, приложенных узлам фермы.

При составлении математической модели принимаются следующие допущения:

стержни, образующие ферму, являются невесомыми, абсолютно жесткими и прямолинейными;

соединительные шарниры - идеальные (Трение в них отсутствует).

Требуется:

1. Сформировать систему уравнений для определения реакций внешних и внутренних связей.

2. Найти значения реакций внешних и внутренних связей.

3. Провести численный анализ полученного решения для разных видов опор и мест их расположения с использованием ЭВМ и выбрать оптимальный вариант.

Порядок выполнения работы

1. Выделить тело (элемент) или систему тел с заданными активными силами, равновесие которых будем рассматривать;

2. Используя аксиому освобождаемости от связей рассмотреть выбранное тело, как свободное, заменив действующие на него связи их реакциями;

3. Дать анализ полученной системы сил, выяснить статическую определимость фермы;

4. Записать условия равновесия и составить уравнения равновесия:

с помощью метода вырезания узлов;

методом Риттера;

5. Определить реакции внешних и внутренних связей и осуществить проверку правильности составления уравнений равновесия.

6. Провести анализ и исследование полученного решения:

исследовать влияние вида опор и места их расположения на величины реакций внешних и внутренних связей.

выбрать такое расположение опор, при котором обеспечивается минимальное количество сжатых или растянутых стержней (по указанию преподавателя);

определить область допустимых значений ориентации опорной плоскости катковой опоры,

В процессе выполнения курсовой работы необходимо выработать следующие навыки и умения:

определения связей, действующих на тело или систему тел;

составления уравнений равновесия для произвольного тела, входящего в систему тел и нахождения реакций связей;

решения поставленной задачи разными методами.

Мостовая ферма находится в равновесии под действием сил , и . Геометрические размеры фермы известны. Ферма опирается в точке на катковую опору, а в точке закреплена неподвижным шарниром.

Исследовать равновесие фермы. Определить реакции внешних и внутренних связей для разных видов опор и мест их расположения (схемы 1, 2, 3).

Исходные данные

1. Определение реакций внешних связей

Для определения реакций внешних связей рассмотрим мостовую ферму (рис. 2) содержащую 8 узлов, соединенных 13 стержнями. Ферма находится в равновесии под действием активных сил , , , , и связей приложенных в точках и .

Освободим ферму от опор, заменив их действие силами реакций связей . Проведем систему координат и изобразим действующие на нее внешние силы: активные , , , , и реакции связей

Реакцию катковой опоры направим перпендикулярно опорной плоскости, а реакцию неподвижной шарнирной опоры - изобразим двумя составляющими и , т. е. , направив их в положительном направлении координатных осей. Так как все указанные силы расположены в плоскости , то ферма находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил.

Так как на ферму действует произвольная плоская система сил и выполняется условие , то ферма является статически определимой и расчет фермы можно осуществить методами теоретической механики.

Составим уравнения равновесия системы сил, действующих на ферму:

Последовательно решая систему уравнений , из второго уравнения найдем реакцию

Из третьего уравнения этой системы -

а из первого уравнения

Так как значение получилось отрицательным, реакция направлена противоположно направлению, выбранному на расчетной схеме.

2. Определение усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов

Метод вырезания узлов сводится к последовательному рассмотрению равновесия каждого узлового соединения фермы.

Пронумеруем узлы фермы римскими цифрами, а стержни - арабскими (рис. 3). Стержни, сходящиеся в узлах, являются для каждого узлового соединения связями. Отбросим связи и заменим их действия реакциями - усилиями в стержнях, которые будем обозначать символом . На рис показаны пронумерованные узлы фермы с приложенными к ним активными и реактивными силами. Здесь учтена аксиома о равенстве сил действия и противодействия, т. е. . Реактивные силы изображены на рис в предположении, что стержни растянуты, т. е. направлены от узлов. Тогда реакция будет положительной, если стержень растянут, и отрицательной, если он сжат.

Рассмотрим теперь равновесие узлов фермы. Системы сил, действующие на каждый узел, являются сходящимися плоскими системами сил. Равновесие таких систем сил возможно, если их равнодействующая равна нулю. Это условие можно записать в виде

Так как в каждом рассматриваемом узле должно быть не более двух неизвестных реакций, выберем следующую последовательность решения

Составим уравнения равновесия для каждого из узлов и последовательно найдем реакции стержней фермы.

Узел I

Из уравнений с учетом найденных ранее реакций внешних связей найдем реакции :

Узел II

Из уравнений , с учетом ,(4)

Узел III

Из уравнений , с учетом

Узел V

Из уравнений , с учетом

Узел IV

Из уравнений , с учетом

Узел VII

Из уравнений , с учетом (5),

Узел VI

Из первого уравнения системы , с учетом (7)

Узел VIII

Последнее уравнение системы и уравнения могут служить, при найденных ранее реакциях внешних связей, проверочными. Действительно

Результаты расчета сведем в таблицу.

Реакциястержня
Значениереакции,	380.73	0	129	242ю9	-14,64	-32,63	-102	-282,56	248,78	323,6	-101,99	157,81	520,57

Отрицательные значения реакций стержней показывают, что направления этих реакций противоположны принятым на расчетной схеме и, следовательно, они сжаты. Стержни при некоторых значениях сжимающих усилий могут потерять прямолинейную форму (изогнуться) и при дальнейших расчетах их необходимо проверять помимо прочности еще и на устойчивость. Значения реакций стержней положительны. Следовательно, эти стержни растянуты.

Выбор последовательности расчета, предложенной для нахождения искомых реакций, обусловлен тем, что решение уравнений равновесия осуществлялось в зависимости от найденных на предыдущем этапе решений, т. е. «вручную». Такая последовательность неединственная. Можно указать и другие последовательности решения.

При использовании метода вырезания узлов можно обойтись без предварительного нахождения реакций внешних связей (реакций опор фермы). Действительно, статически определенная и геометрически неизменяемая ферма содержит стержня, где - число узлов; так как три уравнения необходимы для нахождения реакций опор, то для вычисления всех неизвестных сил (реакций опор и реакций стержней) нужно уравнений.

Применительно к рассматриваемой ферме имеем 8 узлов и 13 неизвестных величин . Рассмотрев равновесие всех узлов фермы, получим замкнутую систему 14 линейных алгебраических уравнений - , относительно 14 неизвестных величин (реакций внешних и внутренних связей).

Уравнения , в этом случае, могут служить для проверки расчета: при подстановке в них найденных значений реакций опор они должны обратиться в тождества.

Такой подход эффективен при использовании вычислительной техники, которая позволяет легко решать большие системы линейных алгебраических уравнений.

Поэтому в задачах нахождения реакций внешних и внутренних связей для ферм, выполненных по схемам 2 и 3, ограничимся составлением только уравнений равновесия, а их решение выполним с помощью пакета Mathcad (п. 4).

Схема №2
а)
б)
Рассмотрим мостовую ферму (рис. 4 а), которая находится в равновесии под действием активных сил , , и связей приложенных в точках и . В точке А расположен невесомый стержень, в точке В - шарнирная опора, угол наклона опорной плоскости которой равен .
Как и ранее, воспользуемся для нахождения реакций внешних и внутренних связей методом вырезания узлов. Рассмотрим равновесие каждого узла фермы. Отбросим связи и заменим их действия реакциями: внутренними - и внешними - (рис. 4 б). Записывая уравнения равновесия для каждого узла, получим
Узел I
Узел II
Узел III
Узел IV
Узел V
Узел VI
Узел VII
Узел VIII
Уравнения - является замкнутой системой 16 линейных алгебраических уравнений относительно 16 неизвестных реакций и .
Составим уравнения равновесия системы сил, действующих на ферму:
Последовательно решая систему уравнений , из третьего уравнения найдем реакцию
Из первого уравнения этой системы -
,
а из второго уравнения
Схема №3
а)
б)
Рассмотрим мостовую ферму (рис. 5 а), которая находится в равновесии под действием активных сил , , и связей приложенных в точках и . В точке расположена катковая опора, угол наклона опорной плоскости которой равен , в точке - горизонтальная катковая опора, а в точке - невесомый стержень.
Воспользуемся для нахождения реакций внешних и внутренних связей методом вырезания узлов. Рассмотрим равновесие каждого узла фермы. Отбросим связи и заменим их действия реакциями: внутренними - и внешними - (рис. 5 б). Записывая уравнения равновесия для каждого узла, получим
Узел I
Узел II
Узел III
Узел IV
Узел V
Узел VI
Узел VII
Узел VIII
Уравнения - является замкнутой системой 16 линейных алгебраических уравнений относительно 16 неизвестных реакций и .
Составим уравнения равновесия системы сил, действующих на ферму:
Последовательно решая систему уравнений , из второго уравнения найдем реакцию
Из третьего уравнения этой системы -
,
а из первого уравнения
3. Определение усилий методом Риттера
Метод Риттера (метод сечений) в общем случае предполагает предварительное определение реакций опор фермы. Этот метод позволяет оперативно найти реакцию конкретного стержня, не вычисляя реакции других стержней. При этом должна существовать возможность рассечения фермы на две части по трем стержням, среди которых находится искомый стержень. Отбросив ту часть фермы, на которую действует больше сил, рассматривают равновесие оставшейся части. Для произвольной плоской системы сил составляют такие уравнения равновесия, в которые входит только одна неизвестная реакция. Обычно, для этого используют третью основную форму условий равновесия: уравнения моментов сил относительно точек пересечения линий действия двух неизвестных сил (точки Риттера). В тех случаях, когда реакции двух стержней параллельны (точка Риттера находится в бесконечности) составляют уравнение равновесия в виде проекций сил на ось перпендикулярную этим стержням.
В качестве проверки найденного ранее решения, вычислим реакции в стержнях 2,3,4 и в стержнях 8,9,10 .
Рассмотрим равновесие левой части фермы. На левую часть фермы действуют известные силы , а также реакции отброшенной части.
Для нахождения реакции составим уравнения моментов, относительно точки Риттера:
(26),(27),(28)
Для определения реакций стержней 8, 10 и 9 проведем сечение , и рассмотрим равновесие правой части фермы. На правую часть фермы действуют известные силы, а также реакции отброшенной части.
Для нахождения реакций составим уравнения моментов относительно точек Риттера соответственно:
,
4. Результаты расчетов
Решения систем линейных алгебраических уравнений - , - или - можно легко реализовать в пакете Mathcad или других математически ориентированных пакетах. Для этого система уравнений приводится к матричной форме
,
где - вектор правых частей, полностью определенный действующими на ферму активными силами;
- вектор неизвестных реакций внешних и внутренних связей S, задающийся в соответствии с обозначениями, принятыми на рис. 3, рис. 4 или рис. 5;
- матрица коэффициентов, которая формируется на основе двух матриц: постоянной - независящей от расположения опор фермы и переменной - зависящей от их расположения.
Решение сформированной системы уравнений ищется в виде
5. Анализ результатов вычислений
Методы теоретической механики при расчете ферм обычно применяются на этапе предварительного проектирования. Именно на этом этапе может быть поставлена задача выбора оптимального решения согласно одному или нескольким критериям.
Например, требуется обеспечить:
минимальную силу давления на одну или все опоры;
минимальное количество стержней, испытывающих сжимающие усилия;
минимальное количество стержней, в которых сжимающие усилия не превышают некоторого предельного значения .
Также возможна комбинация этих критериев.
При такой постановке задачи расчет следует производить при экстремальных значениях действующих на ферму активных сил. В качестве влияющих параметров можно выбрать ориентацию опорной плоскости, характеризуемую углом , и (или) характерный размер фермы (определяется преподавателем).
Рассмотрим задачу выбора схемы расположения внешних связей, действующих на ферму, при которых сжимающие усилия не превышают некоторого предельного значения , а количество сжатых стержней минимально. В качестве такого критерия примем максимальное значение, не зависящее от угла , сжимающего усилия в стержнях фермы.
При анализе следует учесть:
свойства катковых опор. Катковая опора является неудерживающей связью и, следовательно, ее реакция может быть только положительной (если она направлена перпендикулярно опорной плоскости вверх).
особенности мостовых ферм. Для них ориентация опорной плоскости катковой опоры может характеризоваться только положительными значениями углов .
Учет вышесказанного требует исключения таких состояний, при которых
углы , характеризующие ориентацию опорных плоскостей, отрицательны;
реакции катковых опор неположительны.
Иными словами, область допустимых значений указанных величин определяется неравенствами
.
В некоторых случаях, если это обосновано критериями выбора, катковую опору можно заменить двухсторонней (удерживающей) связью, например стержнем. Угол , определяющий его положение, может изменяться в интервале .
Значения аргумента функций в этом случае могут быть найдены с точностью , величина которой определяется заданием шага ранжированной переменной , при построении графиков функций [1]. В нашем случае .
Для рассматриваемой фермы анализ результатов расчетов, проведенных в п. 4, дает следующее.
Схема 1
1. Реакция опорной плоскости положительна при всех допустимых значениях ориентации опорной плоскости
2. Количество стержней, реакция которых не зависит от - 10 (1,2, 3,4, 5, 6, 7,8, 9, 10) из них сжатых - 6 (2,5,6, 7,8,11 )
3. Максимальное значение сжимающего усилия, величина которого не зависит от угла , равно .

Схема 2

1. Реакция опорной плоскости положительна при всех допустимых значениях ориентации опорной плоскости

2. Количество стержней, реакция которых не зависит от - 10 (3,4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13), из них сжатых - 5 (2, 6, 7, 10, 13)

3. Максимальное значение сжимающего усилия, величина которого не зависит от угла , равно (рис. 11).

Схема 3

1. Реакция опорной плоскости положительна при всех допустимых значениях ориентации опорной плоскости (рис. 13)

2. Реакция опорной плоскости положительна при значениях угла не превышающих величину (рис. 13)

3. Стержень при разных значениях испытывает сжимающие и растягивающие усилия. В тоже время, сжимающее усилие в стержне не будет превышать предельного значения при значениях угла меньших величины (рис. 13)

4. Количество стержней, реакция которых не зависит от - 7, из них сжатых - 5

5. Максимальное значение сжимающего усилия, величина которого не зависит от угла , равно (рис. 14).

С 2. Равновесие составных конструкЦий
Задача 119
Конструкция состоит из стержня ВС и АС, которые шарнирно соединены в точке С

Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются жёсткая заделка в точке А и невесомый стержень в точке В. Конструкция находится в равновесии под действием сосредоточенной силы и распределённой нагрузки, действующей на половине участка BC по линейному закону с интенсивностью .

Определить реакции внешних и внутренних Связей в точках А, B и С если

Для определения реакций связей расчленим конструкцию и рассмотрим равновесие каждой её части отдельно.

Рассмотрим равновесие стержня АС(рис 8).Проведём координатные оси xAy и изобразим действующие на стержень силы: силу и реакции связей. Реакцию жёсткой заделки А изобразим моментом МА и двумя составляющими и , реакцию шарнира С двумя её составляющими и .

Стержень АС находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, для которой можно записать три независимых уравнения равновесия.

Рассмотрим равновесие стержня ВС. Проведём координатные оси xВy и изобразим действующие на стержень силы: равнодействующую распределённой нагрузки (=qb) приложенную в точке К ВК=0,5b и реакции связей. Реакцию невесомого стержня в точке В направим горизонтально вправо, а реакции шарнира С (,) направим, согласно аксиоме о равенстве сил действия и противодействия, в стороны противоположные реакциям шарнира С - , стержня АС.

Рис. 9 Расчётная схема стержня ВС.

Стержень ВС находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, для которой можно записать три независимых уравнения равновесия.

Число неизвестных величин с учётом аксиомы о равенстве сил действия и противодействия равно шести (реакции связей ). Число независимых уравнений равновесия для обеих частей конструкции тоже шесть. Задача является статически определимой.

Найдём значения внешних и внутренних реакций связей решив систему составленную из записанных ранее уравнений. Получим:

-1,58кН

8,63кН

15,512кН

-11,88кН

-7,92кН

=-6,85кН

Задача 219

Конструкция состоит из стержня ВС и АС, которые соединены невесомым стержнем С (рис.10)

Рис. 10

Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются жёсткая заделка в точке А и неподвижная шарнирная опора в точке В. Конструкция находится в равновесии под действием пары сил с моментом М и сосредоточенной силы . Исследовать влияние углов и на реакции внутренних и внешних связей, а также найти оптимальные значения этих углов при которых значения реакций минимальны если:

Для определения реакций связей расчленим конструкцию и рассмотрим равновесие каждой её части отдельно.

Рассмотрим равновесие стержня ВС(рис. 11). Проведём координатные оси xСy и изобразим действующие на стержень силы: пару сил с моментом М и реакции связей. Реакцию неподвижной шарнирной опоры В изображаем двумя её составляющими , а реакцию стержня С направим вертикально вверх.

Рис.11 Расчётная схема стержня ВС.

Рассмотрим равновесие стержня АС (рис.12).Проведём координатные оси xАy и изобразим действующие на стержень силы: сосредоточенную силу и реакции связей. Реакцию жёсткой заделки А изобразим моментом МА и двумя составляющими и , а реакцию стержня С () направим, согласно аксиоме о равенстве сил действия и противодействия, в сторону противоположную реакции стержня С - стержня ВС.

Рис. 12 Расчётная схема стержня АС.

Как видно из полученных результатов: реакция зависит только от угла , реакции и только от угла , а реакции и от и , реакция всегда равна 0.

Задача 319

Конструкция состоит из двух стержней АС и BD соединенных шарнирно балкой CD (рис.13).

Рис.13 Схема конструкции.

Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются жёсткая заделка в точке А и неподвижная шарнирная опора в точке В. Конструкция находится в равновесии под действием пары сил с моментом М, распределённой нагрузки, действующей на участке СD по линейному закону со средним значением и распределённой нагрузки, действующей на участке АС по линейному закону, максимальное значение интенсивности которой .

Определить и если:

Для определения требуемых реакций расчленим конструкцию и рассмотрим равновесие каждой её части отдельно.

Рассмотрим равновесие стержня BD(рис.14).Проведём координатные оси xВy и изобразим действующие на стержень силы: пару сил с моментом М и реакции связей. Реакции неподвижной шарнирной опоры В и шарнира D изображаем двумя их составляющими и .

Рис. 14 Расчетная схема стержня BD

Стержень ВD находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, для которой можно записать три независимых уравнения равновесия.

Рассмотрим равновесие балки СD(рис.15).Проведём координатные оси xСy и изобразим действующие на балку силы: равнодействующую распределённой нагрузки (=qb) приложенную в точке К DК=0,5b и реакции связей. Реакцию шарнира С изображаем двумя её составляющими а реакции шарнира D (,) направим, согласно аксиоме о равенстве сил действия и противодействия, в стороны противоположные реакциям шарнира D - , стержня BD.

Рис.15 Расчётная схема балки CD.

Балка СD находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, для которой можно записать три независимых уравнения равновесия.

В данном случае для нахождения неизвестных реакций достаточно записать два следующих уравнения равновесия:

BD:

CD:

Получили два уравнения с двумя неизвестными. Решая данную систему, находим:

Задача 419

Конструкция состоит из двух стержней АС и BС соединенных шарнирно в точке С (рис.16), а также двух блоков радиусов r и R находящихся на стержне AC на расстоянии 2b+a и а соответственно.

Рис.16 Схема конструкции.

Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются неподвижные шарнирные опоры в точках А и В. Конструкция находится в равновесии под действием распределённой нагрузки, действующей на участке СK стержня CB по линейному закону, максимальное значение интенсивности которой и груза весом P . Исследовать влияние угла на реакции внутренних и внешних связей, а также найти оптимальные значения угла при котором значения реакций связей минимальны если:

Для определения реакций связей расчленим конструкцию и рассмотрим равновесие каждой её части отдельно.

Рассмотрим равновесие стержня АС(рис. 17). Проведём координатные оси xАy и изобразим действующие на стержень силы: вес P, реакции нитей равные весу P и реакции связей. Реакцию неподвижной шарнирной опоры A и шарнира С изображаем двумя их составляющими и

Рис.17 Расчётная схема стержня АС.

Введём дополнительный угол:

Рассмотрим равновесие стержня BС (рис.18).Проведём координатные оси xBy и изобразим действующие на стержень силы: реакцию нити равную весу P и приложенную в точке К, равнодействующую распределённой нагрузки (=0.5qmaxBK) приложенную в точке N BN=2/3*BK и реакции связей. Реакцию неподвижной шарнирной опоры B изображаем двумя её составляющими ,а реакцию шарнира С () направим, согласно аксиоме о равенстве сил действия и противодействия, в сторону противоположную реакции шарнира С - стержня АС.

Рис.18 Расчётная схема стержня ВС.

Стержень BC находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, для которой можно записать три независимых уравнения равновесия.

4. Результаты расчетов

Решения систем линейных алгебраических уравнений и не сложно реализовать в пакете Mathcad, в котором для этого существует несколько способов [1, 10]. Так как кроме решения системы линейных алгебраических уравнений, требуется осуществить проверку их составления, воспользуемся возможностями символьных вычислений Mathcad. Численное решение полученных уравнений произведем с помощью блока решения .

Список использованной литературы

1. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1 (Статика и кинематика) - М.: Наука, 1990;

2. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Т.1 - М.: Высшая школа, 1984;

3. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad практикум - СПб.: БХВ - Петербург, 2005.

4. Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 12. - СПб.: БХВ - Петербург, 2004.