Прямоугольная пластина. Основные обозначения. Расчётная схема
Рассмотрим пластину постоянной толщины h, опертую на жесткий прямоугольный контур, у которого один в плане значительно больше другого (рис.1).

Пусть эта пластина загружена равномерно распределенной нагрузкой, величина которой, приходящаяся на единицу площади, есть р (Мы ограничиваемся рассмотрением случая, когда р = const, хотя излагаемая ниже теория справедлива и при р = р (z)). Очевидно, что такая пластина в своей средней части, ограниченной сечениями аb и сd, будет изгибаться по цилиндрической поверхности. Иными словами, пластина в средней части не будет иметь кривизны в плоскости хоу.

В связи с этим изгиб рассматриваемой пластины будет характеризоваться изгибом любой балки-полоски, мысленно выделенной из пластины, как показано на рис.1.

Пластинами называются упругие тела, имеющие форму призмы, расстояние между основаниями которой мало по сравнению с размерами оснований.

Геометрическое место точек, равноудаленных от оснований, образует срединную поверхность пластины. Длина отрезка перпендикуляра, восставленного к срединной поверхности между основаниями, называется толщиной пластины.

При исследовании изгиба прямоугольных пластин будем пользоваться декартовой системой координат. Плоскость хоу совместим со срединной плоскостью пластины, а ось оz направим вниз.

Размеры пластин в направлении осей ох и оу обозначим буквами а и b соответственно, а толщину пластины - буквой h (рис.2).

Рис.2

Исходные данные
№
п/п
Размер пластины (a), м
Размер пластины (b), м
Модуль упругости материала
Е ·103МПа
Толщина пластины (h), м
19
1.90
1,30
210
0.020
Дифференциальное уравнение изгиба абсолютно жестких пластин.
(1)
Уравнение (1) представляет дифференциальное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами.
Интегрирование таких уравнений будем производить методом разделения переменных, используя для этой цели тригонометрические функции.
Выражения, устанавливающие связь между перемещениями пластины и значениями изгибающими моментами.
(2)
где - цилиндрическая жесткость пластины.
Формула (2) дает связь между перемещением w (прогибом пластины) и моментами, действующими в ее поперечном сечении.
Цилиндрическая жесткость пластины
Действующие в плоскости пластины усилия вызывают напряжения, равномерно распределенные по ее толщине, которые принято называть цепными. Поперечная нагрузка вызывает появление напряжений изгиба, распределенных по толщине пластин по линейному закону.
Подавляющее большинство пластин судового корпуса имеет прямоугольную форму опорного контура. Если одна из сторон этого опорного контура значительно больше другой, пластины будут изгибаться по цилиндрической поверхности.
Практически, если у пластины отношение сторон опорного контура превышает 2,5-З и она загружена равномерно распределенной поперечной нагрузкой, то на значительной части ее длины, за исключением небольших участков, примыкающих к коротким кромкам, кривизна будет только в одном направлении. К изучению изгиба таких пластин, как будет показано ниже, может быть непосредственно применена теория изгиба балок.
Если отношение сторон опорного контура пластины мало отличается от единицы, то при ее изгибе появляется кривизна в двух направлениях, и форма упругой поверхности получается весьма сложной; все расчетные зависимости соответственно усложняются.
При изгибе под действием поперечной нагрузки опорные кромки судовых пластин, жестко скрепленные с балками набора перекрытия, стремятся сблизиться. Такому сближению препятствуют балки набора; вследствие этого в пластине наряду с напряжениями от изгиба возникают напряжения, равномерно распределенные по их толщине. Цепные напряжения называются также напряжениями распора, а сами связи, препятствующие сближению опорных кромок пластин, - распорами. Заметим, что цепные напряжения в пластинах судового корпуса могут появляться не только за счет наличия распор, но и за счет участия пластин в общем изгибе судна.
Влияние цепных напряжений на характер изгиба пластин может быть весьма различным для различных пластин. Оно зависит от соотношения между размерами пластины в плане и ее толщиной, от величины поперечной нагрузки и ряда других факторов.
В зависимости от характера работы пластины судового корпуса можно разбить на следующие группы:
1. Пластины, при изгибе которых влиянием цепных напряжений на элементы изгиба можно пренебречь. Такие пластины в дальнейшем будем называть абсолютно жесткими.
2. Пластины, при изгибе которых влиянием цепных напряжений на элементы изгиба пренебречь нельзя. Такие пластины будем называть пластинами конечной жесткости.
Следует отметить, что пластины можно относить к той или иной категории только на основании расчета. Так, одна и та же пластина в зависимости от величины действующей на неё продольной нагрузки может изгибаться либо как абсолютно жесткая, либо как пластина конечной жесткости.
Выражения, устанавливающие связь между перемещениями пластины и интенсивности усилий, приложенных к кромкам пластины.
Выражения для интенсивности усилий, приложенных к кромкам пластины, запишутся в виде
(3)
Определение напряжений изгиба пластины.
Напряжения изгиба вычисляются по формуле:
(4)
где - момент сопротивление балки-полоски единичной ширины.
Определение наибольшей стрелки прогиба в центре пластины.
Наибольшая стрелка прогиба будет в центре пластины
(5)
Определение изгибающих моментов М1 в центре пластины в сечениях, перпендикулярных оси ох, и М2 - в сечении, перпендикулярном оси оу.
Изгибающие моменты М1 в центре пластины, в сечениях, перпендикулярных оси ох, и М2 - в сечении, перпендикулярном оси оу, определяются по формулам:
(6)
Определение наибольших значений перерезывающих сил по середине опорных кромок пластины, N1 и N2.
Наибольшие значения перерезывающих сил будут по середине опорных кромок пластины, т.е. N1 на кромках х = 0; х = а и N2 на кромках у = ;
(7)
Определение наибольших значений реакций опорных кромок по их середине г1 и r2.
Наибольшие значения реакций опорных кромок будут по середине этих кромок, г1-на кромках х = 0 и х= а; r2 на кромках
у = ;
(8)
Применение ординарных тригонометрических рядов к исследованию изгиба пластин, две противоположные кромки которых свободно оперты, решение дифференциального уравнения изгиба пластины.
Пусть кромки х = 0 и х = а свободно оперты.
Дифференциальное уравнение, определяющее функции fm (у).
(9)
Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами.
Общий интеграл дифференциального уравнения функции fm (у).
(10)
где (у) - частное решение дифференциального уравнения (9).
Входящие в выражение постоянные интегрирования должны быть определены из условий закрепления опорных кромок пластины у=0 и у=b.
Изгиб пластины свободно опертой по всем четырем кромкам и загруженной равномерно распределенным давлением. Расчётная схема (рис.3).

Рис.3
Коэффициенты разложения нагрузки в ряд по синусам кратного аргумента.
(11)
При m=1,3,5….
Общий интеграл дифференциального уравнения, определяющего функцию fm (у) (12) Выражение для прогиба пластины, свободно опертой по всем четырем кромкам и загруженной равномерно распределенным давлением (13).
(12)
m=1,3,5...
Постоянные Аm и Dm, должны быть определены из граничных условий для функций fm (у) при у = .
(13)
Расчёт величины наибольшей стрелки прогиба в центре пластины.
Поскольку для рассматриваемой пластины , то по табл.1 находим
k1=0,0843; k2=0,0499; k3=0,0812; k4=0,242; k5=0,424; k6=0,320; k7=0,486; k8=0,057.
= (см) (14)
Расчёт величины изгибающих моментов М1 в центре пластины в сечениях, перпендикулярных оси ох, и М2 - в сечении, перпендикулярном оси оу.
= (15)
Расчёт величины наибольших значений перерезывающих сил по середине опорных кромок пластины, N1 и N2 (16).
= (16)
Расчёт величины наибольших значений реакций опорных кромок по их середине г1 и r2 (17).
= (17)
Расчёт величины напряжений изгиба пластины (18).
= , =
Расчёт пластины, свободно опертой на кромках х=0 и х=а и жестко заделанной на кромках у = , при действии на пластину, равномерно распределена по всей ее площади. Расчётная схема (рис.4).
Рис.4
Выражение для функции .
(19)
Входящие в это выражение постоянные интегрирования Аm и Dm, должны быть определены из условий для функций при у = .
Граничные условия для функций
(20)
Выражение для прогиба пластины свободно опертой на кромках х=0 и х=а и жестко заделанной на кромках у = .
(21)
Расчёт величины стрелка прогиба в центре пластины (22).
Для рассматриваемой пластины длина жестко заделанных кромок больше, чем свободно опертых, поэтому коэффициенты должны определяться по столбцам левой части табл.2. Так как , то k1 = 0,0582, k2=0,0460, k3=0,0585, k4=0,1049.
(22)
Расчёт величины изгибающих моментов в центре пластины (23).
Изгибающие моменты в центре пластины: М1 - момент в сечении, перпендикулярном оси ох; М2 - момент в сечении, перпендикулярном оси оу:
;
;
М2= 0,0460·0,5·1302 = 388,7 (кгс)
М1= 0,0585·0,5·1302 = 494,325 (кгс)
Расчёт величины изгибающих моментов по середине жестко заделанных кромок (24).

Расчёт величины напряжений изгиба в центре пластины и по середине жестко заделанных кромок (25).
=
Изгиб пластин, жестко заделанных по всем четырем кромкам, при действии равномерно распределенной нагрузки. Расчётная схема (рис.5).

Рис.5
Расчёт величины наибольшей стрелки прогиба (в центре пластины) (26).
Величину коэффициентов k определяем по таблице 3, исходя из условия
= 1,46. k1=0,0241; k2=0,0204; k3=0,0368; k4=0,0515; k5=0,0753; k8=0,465; k9=0,515; k10=0,255; k11=0,332.
=
Расчёт величины изгибающих моментов М1 в центре пластины в сечении, перпендикулярном оси ох, и М2 - в сечении, перпендикулярном оси оу (27).
=
Расчёт величины перерезывающей силы по середине коротких сторон опорного контура N1 и по середине длинных сторон опорного контура N2 (28).
=
Расчёт величины наибольшей интенсивности нагрузки коротких сторон опорного контура r1 и длинных сторон опорного контура r2 (29).
=
Расчёт величины напряжений изгиба в центре пластины в сечении, перпендикулярном оси ох, и в сечении, перпендикулярном оси оу (30).
Заключение. Основные выводы
В данной работе рассмотрен изгиб пластин:

свободно опертых по всем четырем кромкам,

свободно опертых на двух кромках х=0 и х=а и жестко заделанных на кромках у=+b/2,жестко заделанных по всем четырем кромкам.

Во всех случаях действует равномерно распределенная нагрузка при постоянной толщине пластины. Большую часть веса судового корпуса составляют листы наружной обшивки, настилов палуб, платформ и обшивки переборок. С точки зрения строительной механики корабля эти листы представляют пластины, опертые на балки набора. Балки набора образуют опорный контур пластин. Жесткость балок набора при изгибе обычно несоизмеримо больше жесткости пластин. Поэтому пластины при изучении их изгиба можно рассматривать как опертые на жесткий контур.

Таблица 1

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

3,0

4,0

5,0

0,0433

0,0530

0,0616

0,0697

0,0770

0,0843

0,0906

0,0964

0,1017

0,1064

0,1116

0,1336

0,1400

0,1416

0, 1422

0,0479

0,0494

0,0501

0,0504

0,0506

0,0499

0,0493

0,0486

0,0479

0,0471

0,0464

0,0404

0,0384

0,0375

0,0479

0,0553

0,0626

0,0693

0,0753

0,0812

0,0862

0,0908

0,0948

0,0985

0,1017

0,1189

0,1235

0,1246

0, 1250

0,338

0,315

0,294

0,275

0,258

0,242

0,228

0,216

0, 205

0, 194

0,185

0,124

0,093

0,077

0,338

0,360

0,380

0,397

0,411

0,424

0; 435

0,444

0,452

0,459

0,465

0,493

0,498

0,500

0,420

0,399

0,377

0,357

0,337

0,320

0,303

0,287

0,273

0,260

0,248

0,166

0,125

0,100

0,420

0,440

0,455

0,468

0,478

0,486

0,491

0,496

0,499

0,502

0,503

0,505

0,502

0,501

0,500

0,065

0,064

0,063

0,062

0,059

0,057

0,055

0,053

0,050

Ю,048

0,046

0,032

0,024

0,019

Таблица 2

Отношение сторон пластины

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 3,0 4,0 5,0	0,0214 0,0276 0,0349 0,0425 0,0504 0,0582 0,0658 0,0730 0,0799 0,0863 0,0987 0,1276 0,1383 0,1412 0,1422	0,0332 0,0370 0,0401 0,0426 0,0446 0,0460 0,0469 0,0474 0,0476 0,0476 0,0477 0,0421 0,0390 0,0379 0,0375	0,0241 0,0309 0,0377 0,0447 0,0517 0,0585 0,0650 0,0711 0,0768 0,0821 0,0869 0,1144 0,1223 0,1243 0,1250	0.0698 0,0788 0,0868 0,0938 0,0998 0,1049 0,1090 0,1124 0,1152 0,1173 0,1191 0,1246 0,1250 0,1250 0,1250	0,0214 0,0228 0,0243 0,0255 0,0262 0,0270 0,0284 0,0284	0,0332 0,0356 0,0374 0,0388 0,0399 0,0406 0,0421 0,0417	0,0244 0,0230 0,0216 0,0202 0,0189 0,0172 0,0142 0,0125	-0,0698 0,0739 0,0770 0,0793 0,0808 0,0829 0,0842 0,0833

Таблица3

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

3,0

4,0

5,0

0,138

0,165

0, 191

0,210

0,227

0,0241

0,251

0,260

0,267

0,272

0,276

0,279

0,282

0,284

0,0229

0,0234

0,0231

0,0224

0,0215

0,0204

0,0125

0,0229

0,0267

0,0302

0,0328

0,0350

0,0368

0,0373

0,0378

0,0389

0,0395

0,0399

0,0405

0,0409

0,0413

0,0417

0,0517

0,0491

0,0504

0,0508

0,0511

0,0515

0,0517

0,0554

0,0612

0,0668

0,0714

0,0753

0,0784

0,0807

0,0821

0,0826

0,0829

0,0832

0,0833

0,452

0,412

0,381

0,352

0,327

0,305

0,452

0,448

0,471

0,491

0,505

0,517

0,440

0,450

0,457

0,462

0,464

0,465

0,440

0,473

0,493

0,505

0,510

0,515

0,518

0,519

0,520

0,518

0,515

0,510

0,505

0,500

0,250

0,253

0,525

0,256

0,255

0,254

0,253

0,252

0,251

0,250

0,271

0,290

0,306

0,320

0,332

0,343

0,352

0,360

0,367

0,379

0,450

0,432

0,450

0,500

Список литературы
Основная литература:

1. Ипатовцев Ю.Н., Короткин Я.И. Строительная механика и прочность корабля: Учебник. Л.: Cудостроение, 1991

2. Короткин Я.И., Ростовцев Д.М., Сиверс Н.Л. Прочность корабля: Учебник. Л.: Судостроение, 1974

3. Постнов В.А. и др. Строительная механика корабля и теория упругости: Учебник: в 2-х томах. Л.: Cудостроение, 1987

Дополнительная литература:

4. Архангородский А.Г., Беленький Л.М. Аналитический метод проектирования корпуса корабля, Л.: Судпромгиз. 1961

5. Короткин Я.И., Локшин А.З., Сиверс Н.Л. Изгиб и устойчивость стержней и стержневых систем: Учебное пособие, М.Л. .: Машгиз, 1953

6. Короткин Я.И., Локшин А.З., Сиверс Н.Л. Изгиб и устойчивость пластин и круговых цилиндрических оболочек: Учебное пособие, Л.: Судпромгиз, 1955

7. Крыжевич Г.Б. Основы расчётов надёжности судовых конструкций: Учебное пособие, Санкт-Петербург.: СПбГМТУ, 1995

8. Локшин А.З., Рябов Л.И. Судовые кничные соединения, Л.: Cудостроение, 1973

9. Попов Ю.Н. и др. Прочность судов, плавающих во льдах, Л.: Cудостроение, 1967

10. Справочник по строительной механике корабля: в 3-х томах / Под ред. акад. Ю.А. Шиманского. Л.: Судпромгиз. 1960

11. Справочник по строительной механике корабля: в 3-х томах/Бойцов Г.В., Палий О.М., Постнов В.А., Чувиковский В.С. Л.: Cудостроение, 1982

12. Чибиряк И.М. Методические указания к выполнению курсовой работы по конструкции корпуса корабля. Владивосток, изд. ДВПИ им.В. В. Куйбышева, 1977.