Для ступенчатого стального бруса требуется: а) определить значения продольной силы и нормального напряжения по длине бруса; б) построить эпюры и ; в) определить абсолютное удлинение (укорочение) бруса. Модуль продольной упругости МПа.

Данные для задачи своего варианта взять из табл. 1 и схемы на рис. 8

Таблица 1

Вариант						,м	,м	,м
	кН	см2	см
49	220	100	20	18	12	50	70	80

Решение

1. Определение внутренних усилий.

Разбиваем стержень на участки, проводим сечения и рассматриваем отсеченные участки со свободного конца (рис.1,а).

Согласно определению величина продольной силы численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих на оставшуюся часть стержня, на ось стержня.

Участок , м:

кН.

Участок , м:

кН.

Участок , м.

кН.

По полученным данным строим эпюру продольных сил (рис.1,б).

Рис.1. Расчетные схемы к задаче 1

2. Определяем нормальные напряжения .

Участок :

ПаМПа.

Участок :

ПаМПа.

Участок :

ПаМПа.

Строим эпюру нормальных напряжений (рис.1,в).

3. Определение абсолютного удлинения (укорочения) бруса.

Для определения абсолютного удлинения (укорочения) бруса найдем значения перемещений каждого участка бруса, используя формулу закона Гука.

При этом учтем, что в точке (жесткая заделка) перемещение сечения бруса отсутствует. С этой точки будем отсчитывать ординаты перемещений.

;

м;

м.

Таким образом, абсолютно брус укоротится на величину

ммм.

Ответ: мм (брус укоротится).

Задача 2

Подобрать сечения стержней 1 и 2 шарнирно-стержневой конструкции, приняв для растянутых - два равнополочных, для сжатых - два неравнополочных уголка. Расчет произвести по предельному состоянию. Расчетное сопротивление МПа, коэффициент перегрузки . Коэффициент условия работы .

Данные для задачи своего варианта взять из табл. 2 и схемы на рис. 9.

Таблица 2

Вариант		Углы, град
	кН
49	90	30	90	110

Решение

1. Определение реакций стержней.

В точке пересекаются линии действия заданной силы реакций стержней и , поэтому выделяем узел (рис.2), который рассматриваем как объект равновесия. Прикладываем к этому узлу заданную силу , направленную вдоль троса. При этом учитываем, что неподвижный блок изменяет направление силы, но не влияет на ее значение. Освобождаем узел от связей, которые осуществляются стержнями и . Прикладываем вместо них реакции стержней и , направляем их вдоль стержня от узла, то есть полагаем, что оба стержня растянуты.

Рис.2. Расчетная схема к задаче 2

Выбираем координатные оси и , и составляем уравнения равновесия:

; ; (1)

; ; (2)

Решаем уравнения равновесия и находим реакции стержней.

Из уравнения (2) находим

кН.

Из уравнения (1) получаем

кН.

Знаки реакций показывают, что в действительности стержень сжат, а стержень растянут.

2. Подбор сечений стержней.

При проектировании конструкций условие прочности по первому предельному состоянию записывается в следующем виде:

, (1)

где - наибольшая расчетная нагрузка в стержне;

- площадь сечения стержня;

- коэффициент условий работы;

- расчетное сопротивление материала стержня.

Из условия (1) находим требуемую площадь поперечного сечения стержня

Для сжатого стержня будем иметь

м2см2

По табл. 4 сортамента [1, с.291], выбираем для заданного сечения стержня два неравнополочных уголка № 2,5/1,6, для каждого из которых площадь профиля см2. Тогда суммарная площадь сечения стержня будет см2см2.

Для растянутого стержня получим

м2см2

По табл. 3 сортамента [1, с.286] выбираем для сечения стержня два равнополочных уголка № 4 (405), для каждого из которых площадь профиля см2. Тогда суммарная площадь сечения второго стержня будет равна см2см2.

Ответ: материал сжатого стержня АВ - два неравнополочных уголка № 2,5/1,6;

материал растянутого стержня ВС - два равнополочных уголка № 4 (405).

Задача 3

Найти главные центральные моменты инерции сечения: а) геометрической формы; б) составленного из стандартных профилей проката. Данные для задачи своего варианта взять из табл. 3 и схемы на рис. 10.

Таблица 3

Вариант						Швеллер, №	Полоса, мм
	см
49	15	40	20	15	20	30

Решение

a) Сечение геометрической формы.

1. Определяем координаты центра тяжести фигуры.

Для этого проводим вспомогательные оси , таким образом, что ось совпадает с нижним основанием фигуры, а ось совпадает с ее вертикальной осью симметрии. Относительно выбранных осей координат определим положение лишь вертикальной координаты центра тяжести фигуры. Для этого разбиваем сечение на три прямоугольника I, II и два треугольника III (рис.3).

Ординату центра тяжести сечения определяем по формуле

где - площадь прямоугольника I;

см2;

- расстояние от оси до центра тяжести прямоугольника I;

см;

- площадь прямоугольника II;

см2;

- расстояние от оси до центра тяжести прямоугольников II;

см;

- площадь треугольника III;

см2;

- расстояние от оси до центра тяжести треугольников III;

см;

Подставляя числовые значения, получим

см.

Кроме того, .

По этим данным наносим точку - центр тяжести сечения и проводим главные центральные оси сечения и .

2. Вычисляем главные центральные моменты инерции сечения:

; .

Для вычисления момента инерции прямоугольника I относительно оси используем формулу IV.10 [1, с.82]

где - момент инерции прямоугольника относительно собственной центральной оси ;

см4;

- расстояние от оси до центра тяжести прямоугольника I

см.

Подставляя числовые значения, получим

см4.

Аналогично находим моменты инерции прямоугольников II и треугольников III относительно оси :

где см4; см.

см4.

;

где см4; см;

см4.

Суммарный момент инерции относительно главной оси

см4.

Точно также вычисляем момент инерции относительно главной оси .

Для прямоугольника I

где см4;

см4.

Для прямоугольника II

где см4; см.

см4.

Для треугольника III

где см4; см.

см4.

Суммарный момент инерции относительно оси

см4.

5. Вычерчиваем сечение в масштабе 1:5 с указанием на нем всех осей и размеров (рис.2).

Рис.3. Сечение геометрической формы

a) Сечение, составленное из стандартных профилей проката.

1. Определяем координаты центра тяжести.

Для этого проводим вспомогательные оси , таким образом, что ось совпадает с нижним основанием полосы, а ось совпадает с осью симметрии фигуры. Разбиваем сечение на три фигуры: прямоугольную полосу и два швеллера № 30, для которых все необходимые данные выбираем из таблиц сортамента [1, c.284].

Находим геометрические характеристики прямоугольной полосы:

см2;

см4;

см4.

Поскольку ось является осью симметрии сечения, то она будет являться главной центральной осью сечения

Ординату центра тяжести сечения определяем по формуле

где - расстояние от оси до центра тяжести сечения прямоугольной полосы;

см;

- расстояние от оси до центра тяжести швеллеров;

см.

Подставляя числовые значения, получим

см.

По этим данным наносим точку - центр тяжести сечения и проводим главные центральные оси и .

2. Вычисляем главные моменты инерции относительно осей и :

; .

Вычисляем момент инерции полосы относительно оси

см4,

где - расстояние от оси до центра тяжести прямоугольника

см.

Аналогично находим момент инерции швеллера относительно оси :

где см;

см4.

Главный момент инерции

см4.

Точно также вычисляем главный момент инерции сечения относительно оси .

Для прямоугольной полосы

см4.

Для швеллера

где см.

см4.

Суммарный момент инерции относительно оси

см4.

3. Вычерчиваем сечение в масштабе 1:2 с указанием на нем всех осей и размеров (в см) (рис.4).

Рис.4. Сечение, составленное из стандартных профилей проката

Задача 4

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов от расчетной нагрузки. Проверить несущую способность деревянной балки.

Данные для задачи своего варианта взять из табл. 4 и схемы на рис. 11.

Таблица 4

Вариант				, кН	, кН/м	, кН•м
	м
49	3	6	1	20	12	6

Решение

1. Выполняем расчетную схему согласно исходных данных (рис.5,а).

Отбросим опоры и заменим их влияние на балку опорными реакциями и (рис.5, б).

Определяем опорные реакции.

Составим сумму моментов всех сил относительно точки :

; ,

откуда

кН.

Составим сумму моментов всех сил относительно точки :

; ,

откуда

кН.

Проверка:

Следовательно, реакции определены правильно.

2. Балка имеет три участка. Обозначим через расстояние от левого или правого концов балки до некоторого его сечения. Составим выражения для поперечных сил и изгибающих моментов , возникающих в поперечных сечениях балки и по ним установим значения ординат эпюр в ее характерных сечениях.

Участок I :

;

При

кН;

При м

кН;

кН•м.

Поскольку уравнение изгибающего момента - уравнение параболы, то для построения эпюры определим еще одно значение момента:

при м

кН•м.

Участок II :

;

При м

кН;

кН•м.

При м

кН;

кН•м.

Участок III :

;

При

кН;

При м

кН;

кН•м.

3. По полученным ординатам строим эпюры и балки (рис.5, в, г).

Рис. 5. Расчетные схемы к задаче 4

4. Условие прочности деревянной балки записывается в виде

, (1)

где - максимальный изгибающий момент, действующий в поперечном сечении балки. Из эпюры изгибающих моментов имеем кН•м;

- момент сопротивления сечения при изгибе; для сечения прямоугольной формы

где ммм - ширина прямоугольного сечения балки;

ммм - высота прямоугольного сечения балки;

м3;

- допускаемые напряжения при изгибе; для дерева принимаем МПа.

Проверяем несущую способность деревянной балки

ПаМПа,

что значительно больше допускаемых напряжений. Следовательно, несущая способность балки не соблюдается.

Ответ: Прочность балки недостаточна.

Задача 5

Для двухопорной балки подобрать сечение двутавра из условия прочности.

Проверить прочность по касательным напряжениям. Построить эпюры и для сечений, в которых и . Нагрузку принять состоящей: 1) из 80% постоянной, коэффициент перегрузки 2) из 20% временной, коэффициент перегрузки .

Данные для задачи своего варианта взять из табл. 5 и схемы на рис. 12.

Таблица 5

Вариант			, кН/м	, кН•м
	м
49	4	4	12	6

Решение

1. Определяем действительные значения нагрузок, действующих на балку, используя метод расчета предельного состояния по несущей способности.

При этом расчетное усилие в балке (в нашем случае и ) определяем как сумму усилий от каждой нормативной нагрузки (постоянной и временной) с учетом соответствующих каждой нагрузке коэффициентов перегрузки. В результате получим

кН•м;

кН/м.

2. Выполняем расчетную схему согласно исходных данных (рис.6,а).

Отбросим опоры и заменим их влияние на балку опорными реакциями и (рис.6, б). Учитывая симметричность конструкции, получим

кН.

Участок I :

;

При

кН;

кН•м.

При м

кН;

кН•м.

Участок II :

;

При м

кН;

кН•м.

При м

кН;

кН•м.

Так как на концах участка II поперечная сила меняет свой знак с плюса на минус, то на данном участке изгибающий момент принимает максимальное значение.

Из условия найдем абсциссу сечения, в котором действует изгибающий момент :

откуда

м.

Тогда при м

кН•м.

Участок III :

;

При

кН;

При м

кН;

кН•м.

3. По полученным ординатам строим эпюры и балки (рис.6, в, г).

Рис. 3. Расчетные схемы к задаче 3

4. Определяем из условия прочности необходимый момент сопротивления сечения

, (1)

- момент сопротивления сечения при изгибе;

- допускаемые напряжения при изгибе; принимаем для стали Ст3

МПа.

Из выражения (1) находим требуемый момент сопротивления сечения

м3см3.

Для подбора сечения балки в виде двутавра используем таблицу сортамента [1, с.283], откуда выбираем для заданного сечения балки двутавр № 40, для которого см3. Перегрузка при этом составит

что вполне допустимо (< 3%).

5. Построим эпюры и для сечений, в которых и .

Сечение С (расположено посередине пролета ). В данном сечении действуют только нормальные напряжения, так как поперечная сила равна нулю.

Нормальные напряжения вычисляем по формуле Навье

В данном сечении кН•м, кН.

Данные для двутавра №40: мм; мм; мм; мм; см2; см4; см3.

Обозначим характерные точки по высоте сечения (рис.7).

Точка 1:

ммм;

ПаМПа.

Поскольку изгибающий момент положительный, то точки 1 и 2 лежат в сжатой зоне и напряжения в этих точках имеют отрицательный знак.

Точка 2:

ммм;

ПаМПа.

Точка 3:

, так как . Ось, проходящая через точку 3, называется нейтральной осью.

Точки 4 и 5. В этих точках значения нормальных напряжений те же, что и в точках 2 и 1, только положительные, так как точки 4 и 5 лежат в растянутой зоне.

МПа;

МПа.

По полученным значениям строим эпюру (рис.7).

Рис.7. Эпюра нормальных напряжений в сечении С

Сечение D. Здесь действует максимальная поперечная сила кН, а изгибающий момент равен кН•м.

Касательные напряжения вычисляем по формуле

В точках 1 и 5 (рис.8).

Точки 2 и 4. Вычисляем статический момент площади поперечного сечения

где - отсеченная часть площади поперечного сечения;

- координата центра тяжести отсеченной площади.

м3.

При мм

ПаМПа.

При мм

ПаМПа.

Точка 3. Это точка, расположенная на уровне нейтральной оси. Для нее имеем [2, с.257]

м3.

ПаМПа.

Нормальные напряжения в сечении D

ПаМПа (сжатие);

МПа (растяжение).

Строим эпюры напряжений в сечении D (рис.8).

Рис. 8. Эпюра касательных напряжений в сечении А

Максимальное касательное напряжение имеет место на нейтральной линии, то есть МПа.

Допускаемое касательное напряжение по 3-й теории прочности принимаем равным МПа.

Следовательно, для балки двутаврового сечения

МПа<96МПа.

Условие прочности выполняется.

Задача 6

Подобрать сечение равноустойчивой центрально сжатой колонны из двух швеллеров или двутавров (в зависимости от варианта выполняемой задачи), соединенных планками способом сварки. Материал - сталь Ст3, расчетное сопротивление МПа. Данные для задачи своего варианта взять из табл. 7 и рис. 13. Принять .

Вариант	Схема на рис.	, м	, МН
				% от
49	V	6	0,6	30	70	1,3	1

Решение

1. Определяем действительное значение нагрузки, действующей на колонну, используя метод расчета предельного состояния по несущей способности.

При этом расчетное усилие в колонне (в нашем случае ) определяем как сумму усилий от каждой нормативной нагрузки (постоянной и временной) с учетом соответствующих данной нагрузке коэффициентов перегрузки. В результате получим

МНкН.

2. Равноустойчивость колонны во всех направлениях будет обеспечена при равенстве моментов инерции относительно осей и . Момент инерции сечения относительно оси не зависит от расстояния , поэтому подбор сечения произведем, учитывая это обстоятельство.

3. Принимая в качестве первого приближения значение коэффициента , находим площадь поперечного сечения колонны

м2см2.

Из таблиц сортамента [1, с.284] выбираем два швеллера № 30, для которых суммарная площадь сечения равна см2.

Наименьший радиус инерции из той же таблицы для составного сечения

см.

Определяем гибкость колонны

Коэффициент из табл.X.1[1] получаем равным .

Повторим расчет, принимая

Далее находим

м2см2.

Из таблиц сортамента [1, с.284] выбираем два швеллера № 20а, для которых суммарная площадь сечения равна см2; см. Гибкость колонны при этом будет равна

Коэффициент из табл.X.1 получаем равным .

Еще раз повторим расчет, приняв

Далее получаем

м2см2.

Выбираем швеллер № 18а. Тогда см2; см.

Гибкость

Коэффициент продольного изгиба при этом равен .

Еще раз произведем расчет

Далее получаем

м2см2.

Выбираем швеллер № 18. Тогда см2; см.

Гибкость

Коэффициент продольного изгиба при этом равен и очень мало отличается от . Расчет заканчиваем и принимаем швеллер № 18, для которого см4; см4; см2.

Момент инерции сечения колонны относительно оси равно

см4.

Момент инерции сечения колонны относительно оси равно

Условие равноустойчивости имеет вид

Подставляя сюда значения моментов инерции, получим

откуда находим расстояние от центра тяжести швеллера до оси

см.

Определяем длину пластин

см

Ответ: Сечение колонны: два швеллера № 18, соединенные пластинами длиной см способом сварки.

Список использованной литературы

1. Степин П.А. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1983.

2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1989.

3. Ицкович Г.М. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1986.

Размеры, см

Площадь сечения , см2

Моменты инерции относительно собственных центральных осей, см4

Швеллер № 30